$a, b, c \in \mathbb{R}$ ve $a \ne 0$ olmak üzere,
$$
ax^{2}+bx+c=0
$$
biçimindeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan $x$ değerlerine kök denir. Polinom konusunda "polinomun sıfırları" şeklinde de adlandırılır.
Kök Bulma
Çarpanlara Ayırma
Denklemi çarpanlarına ayırarak her bir çarpanı sıfırlayan $x$ değeri bulunur. Örneğin;
$x^{2}+5x-6=0$ denklemini çarpanlarına ayırırsak $(x+6)(x-1)=0$ biçiminde olur. Bir çarpımın sonucu sıfıra eşitse çarpanalrdan en az birinin sıfır olması gerektiğinden $x+6=0$ ve $x-1=0$ eşitlikleri ile $x_1=-6$ ve $x_2=1$ kökleri bulunur. Bu iki değer de denklemi sağlar.
Bir denklemin kök sayısı en fazla derecesi kadardır.
Diskriminant Yöntemi
"Diskriminant" kelimesi Latince "discriminare" fiilinden gelir, bu da "ayırt etmek" veya "farklılık göstermek" anlamına gelir. Matematikteki kullanımı, bir denklemin köklerinin yapısını "ayırt etmeye" yaramasından gelir.
Diskriminant Formülünün Türetilmesi
İkinci dereceden $ax^{2} + bx + c = 0$ denkleminin çözümü için diskriminant formülünün nasıl elde edildiğini adım adım gösterelim:
- İkinci dereceden denklemi standart formda yazalım:
$ax² + bx + c = 0$
- Denklemi çözmek için kareyi tamamlama yöntemini kullanalım. İlk olarak, denklemi $a$'ya bölelim:
$\displaystyle x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$
- Kareyi tamamlamak için, $\displaystyle \frac{b}{a} x$ terimini kullanarak bir kare oluşturalım:
$\displaystyle x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a} $
- $\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^{2}$ terimini ekleyip çıkaralım (denklemde değişiklik yapmaz):
$\displaystyle x^{2} + \frac{b}{a} x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2} -\left(\frac{b}{2a}\right)^{2} = - \frac{c}{a} $
- Sol tarafı düzenleyelim:
$\displaystyle \left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} =\left(\frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{c}{a} $
- Sağ tarafı ortak paydaya alalım:
$\displaystyle \left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} =\frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{4ac}{4a^{2}} = \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$
- Her iki tarafın karekökünü alalım:
$\displaystyle x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} = \pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
- x'i yalnız bırakalım:
$\displaystyle x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Burada $\sqrt{b^{2}-4ac}$ ifadesi kökün varlığını ve yapısını belirler. Bu nedenle $b^{2}-4ac$ ifadesine "diskriminant" adı verilir ve genellikle $\Delta$ (delta) sembolü ile gösterilir:
$\Delta = b^{2}-4ac$
Diskriminant formülünün önemi, kökler hakkında hızlı bir şekilde bilgi vermesidir:
Δ > 0 ise, kökler altında pozitif bir ifade olduğundan iki farklı gerçek kök vardır.
Δ = 0 ise, kökler altındaki ifade sıfır olduğundan tek (çakışık) bir gerçek kök vardır.
Δ < 0 ise, kökler altındaki ifade negatif olduğundan gerçek kök yoktur, iki karmaşık kök vardır.
Bu nedenle diskriminant, bir ikinci dereceden denklemin köklerinin doğasını "ayırt etmek" için kullanılır, bu da isminin kökenini açıklar.
