Ön Hazırlık
Polinom kelimesi, Latince kökenli olup "poly" (çok) ve "nomen" (terim) kelimelerinin birleşiminden gelmektedir. Dolayısıyla polinom, kelime anlamıyla "çok terimli" demektir. Bu da matematikte kullanılan polinomların yapısına uygundur, çünkü polinomlar genellikle birden fazla terimden oluşan cebirsel ifadelerdir.
Toplama ya da çıkarma işlemi ile ayrılmış her bir ifadeye terim denir. Her bir terimin önündeki sayısal ifadeye katsayı denir. Genellikle $x$, $y$, $z$ ile ifade edilen bilinmeyenlere değişken denir. Bir değişkenin kuvvetine derece denir. Ayrıca en yüksek dereceli terim polinomun derecesi olarak ifade edilir ve katsayısına baş katsayı denir. Değişken içermeyen katsayıya sabit derim denir.
Örneğin, $3x^{2}+5x-7$ polinomunda;
- Terimler: $3x^{2}$, $5x$ ve $-7$
- Katsayılar: $3$, $5$ ve $-7$
- Polinomun Derecesi: $2$
- Baş katsayı: $3$
- Sabit terim: $-7$
Polinomun Tanımı
$n$ bir doğal sayı ve katsayılar ($a_n$) reel sayı olmak üzere,
$$
P(x)=a_n x^{n} +a_{n-1} x^{n-1} +...+a_1 x+a_0
$$
çok terimlsiine $x$ değişkenine bağlı $n$. dereceden reel katsayılı polinom denir.
- $a_n$: polinomun baş katsayısıdır.
- $a_0$: polinomun sabit terimidir.
- $n$: polinomun derecesidir ve $der[P(x)]=n$ biçiminde gösterilir.
Not: Tüm kuvvetlerin doğal sayı olması polinomlarda $x$ değişkeninin paydada ya da köklü ifade içinde bulunmayacağını gösterir. Bu da tanımsız olduğu herhangi bir nokta olmadığı anlamına gelir. Bu nedenle Limit ve Süreklilik konusu ve devamında Türev konusunda sıkça karşımıza çıkar.
Sabit ve Sıfır Polinom
$c$ sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere $P(x)=c$ biçimindeki polinomlara sabit polinom, $P(x)=0$ biçimindeki polinomlara sıfır polinom denir.
Burada sıfırın ayrı bir şekilde isimlendirilmesinin nedeni; sabit polinomun derecesi sıfır iken, sıfır polinomun derecesinin belirsiz olmasıdır.
Katsayılar Toplamı ve Sabit Terim
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için $1$'in tüm kuvvetlerinin kendisine eşit olması ve çarpma işleminde etkisiz eleman olmasından yararlanılır. Bu nedenle kat sayılar toplamı bulunurken $x=1$ yazılır.
Örneğin, $P(x)$ polinomu için katsayılar toplamı $P(1)$ iken $P(x-3)$ polinomu için katsayılar toplamı $P(-2)$ dir.
Benzer şekilde değişken içermeyen tek terim sabit terim olduğundan sabit terimi bulmak için de $x=0$ yazılır. Böylelikle değişken içeren tüm terimler sıfırlanmış olur.
Örneğin, $P(x)$ polinomu için sabit terim $P(0)$ iken $P(x-3)$ polinomu için sabit terim $P(-3)$ tür.
